Metodos

Para la división de polinomios hay tres métodos:

Método común

Método Ruffini

Método Horner

Método común

En este método se lo primero que hay que hacer es verificar que las expresiones P(x) y Q(x) estén ordenadas de forma estándar, es decir que el grado de las expresiones estén de acomodados de mayor a menor.

(6x 5 + x 4 + 4x 2 – 7x + 1) entre (2x 2 + x – 3)

Como los grados de las expresiones están ordenados de forna estándar, se acomodan como en una división de números enteros.

Después se hace lo mismo que una división de números enteros. 

Se busca alguna otra variable que multiplicada por el Q(x) sea igual la primera variable del P(x).

Luego se baja el resultado de la resta y las otras variables que no se restaron.

El proceso se repite hasta que el grado de P(x) sea inferior al de Q(x).

  

Método De Ruffini o división sintetizada

A continuación, veremos cómo realizar la división de un polinomio por un binomio usando la división sintética o regla de Ruffini .

Para explicar este procedimiento, veamos un ejemplo:

6x 3 – 2x dividido entre  4x + 8

Para realizar una división sintética deben cumplirse las siguientes condiciones:

1) Tanto dividendo (6x 3 – 2x) como divisor (4x + 8) deben tener la misma letra (en este caso la x)

2) El polinomio divisor (4x + 8) debe ser de primer grado (la equis elevada a uno).

3) Los términos del polinomio dividendo (6x 3 – 2x) deben estar agrupados de mayor a menor según su exponente (x4, x3, x2, x, 4 por ejemplo).

4) El polinomio dividendo (6x 3 – 2x) debe estar completo según sea el exponente mayor (en este ejemplo faltarían x 2 y la cifra final).

5) Si el polinomio dividendo (6x 3 – 2x) no está completo debe completarse con ceros.

En nuestro caso, el polinomio dividendo (6x 3 – 2x) debe quedar como 6x 3 + 0x 2 – 2x + 0 para empezar a operar

Y hacemos lo siguiente:

El polinomio divisor (4x + 8) lo igualamos a cero y despejamos la x

4x + 8 = 0

4x = – 8

x = –8/4

x = –2

Luego hacemos un cuadro como sigue, anotando debajo de cada término solo su coeficiente, colocando el valor de x  ( – 2) en la línea siguiente y repitiendo abajo el primer coeficiente (6 en color rojo):

Introducción

División de polinomios

Historia 

En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma, ax2 +bx+c=0 donde a, b y c pueden ser números cualesquiera.  

Sin embargo la formula para resolver ecuaciones de tercer grago se encontro hasta el siglo XVI en Italia.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo. 

La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro. Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna". 

En aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante, trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos matemáticos" con otros, y vencer.

El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos: Annibale della Nave y Antonio María Fiore. Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor.

Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, durante 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica. Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en 1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna".

El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones lineales o de grado 1 (del tipo ax+b=0), ecuaciones cuadráticas o de grado 2 (del tipo ax2 +bx+c=0), ecuaciones cúbicas o de grado 3 (del tipo ax3 +bx2 +cx+d=0) y ecuaciones de cualquier grado, en general. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.
Es así, cómo se dan a conocer los polinomios, sus operaciones, propiedades entre otros tema de gran interés.